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平成22年度・青森県(数学)高校入試問題 [平成22年度(2010年)・数学]

平成22年度・青森県(数学)高校入試問題のダウンロードはこちらから
http://www.pref.aomori.lg.jp/bunka/education/H22zenki-ac.html

■■まとめ■■
簡単な問題から難しい問題へと少しずつ難しくなっていっている問題です。
[5]の問題は,2つの立体の置く方向を変えても問題ないこと。
計算が煩雑になりやすい部分を,どう処理するか。
という点を考えるとよいでしょう。

■■ポイント■■
[1]計算問題と小問集合。さっと片付けたい。
(1)ア~エ.基本的な問題
 オ.平方根の問題。有理化しながら行う。
(2)式変形すると,8xy^2となるから,ここで代入する。8×3×(-1)2=24
(3)x^2-5x=24 → x^2-5x-24=0 → (x-8)(x+3)=0 → x=8,-3
(4)x,yを代入して,a,bの連立方程式として求める。
(5)Aの座標は(-2,-3)であるから,原点対称である点は,A'(2,3)
(6)円Oの半径をrとすると,底面の周の長さと,側面の周の長さが等しいので,
10aomori_suu02.JPG
(7)尖っている部分に線を入れる。
 錯角で∠ABP=75°,錯角で∠BPD=40°
 △BPCの外角で,∠CBP=15°
 よって,∠x=∠ABC=60°
(8)ABの中点をHとして,△AOHで三平方の定理を使う。円Oの半径が7であるから,
 AH=√49-16=√33。よってAB=2AH=2√33


[2]ここも小問集合。
(1)できるカードは6通りだけ。12,13,21,23,31,32。
 この中で素数は13,23,31であるから, 1/2
(2)平方根の中が平方数になっていればよい。
 n=2,2×2^2,2×3^2,2×2^2×3^2=2,8,18,72
(3)一番小さい数をnとする。
 (一番小さい数)×(一番大きい数)+1=n(n+2)+1となるが,式変形すると,
 n(n+2)+1=n^2+2n+1=(n+1)^2
 となる。これは真ん中の数の2乗であることを表しているので,予想はいつでも成立する。

[3]図形に関する問題。図はあまり難しくない。
(1)[ア]AB=BC
 [イ]∠ABD=∠BCE=60°
 [ウ]∠BAD=∠CBE
 [エ]よって,1辺とその両端の角が等しいので合同。
(2)正四角すいなので,底面は正方形である。
 ア.正方形の対角線なので 6(cm)
 イ.OA=5,AH=3であるから,3:4:5の三角形があるからOH=4。CからOAの距離は△OACの
  面積を2通りで表せばよい。
  [1]底辺AC,高さOH→6×4÷2
  [2]底辺OA,高さCP→5×CP÷2。よってCP=24/5(cm)

[4]2次関数と直線の問題。ここは簡単である。
(1)ここはBを放物線の式に代入して終わりで,y=ax^2 → 2=4a → a=1/2
(2)Aのx座標は4→(1)よりy座標は8。B(-2,2),A(4,8)から,傾き1。y=x+4
(3)直線ABの切片は4であるから,4×6÷2=12
(4)斜めの長さの比は,x座標,y座標の比を考える。
 AB間はx座標もy座標も6の差があるので,BC間はその1/4である3/2だけBよりも小さい。
 よって,C(-7/2,1/2)である。これをy=bx2に代入すると,b=2/49


[5]水槽に水を入れていく問題で,すこしずつ丁寧に見ていく必要がある。グラフに必要なことを書き
 ながら行っていこう。
(1)ア.グラフの傾きが変化するところは80秒後。つまり,最初の80秒間は底面積が小さいところの
 話である。毎秒60cm3を80秒入れると4800(cm3)水が入り,
 15×20=300(cm2)が最初の底面積だから,AB=16(cm)
 イ.224-80=144(秒)を入れたから,144×60=8640(cm3)の水を入れた。
  高さは34-16=18(cm)であるから,15×CD×18=8640。これより,CD=32(cm)
(2)ア.底面積がしだいに大きくなっていくので,傾きが少しずつ小さくなっていく。
10aomori_suu01.JPG
 イ.少しずつ考える。ちなみに
  Qを横においても縦におい
  ても状況は変わらないので,
  縦に置く。(15cmなのですっ
  ぽり埋まる。)。
  Qの高さをxとする。
  A.最初の表面積は15×10(cm2)であり,16cm分水を入れる。
  B.PとQの差の部分の表面積は22×15(cm2)であり,x-16(cm)分水を入れる。
  C.最後の表面積は32×15(cm2)であり,5(cm)分だけ水を入れる。まとめると,
  15×10×16+15×22(x-16)+15×32×5=75×86。
  (いきなり計算しないで約分する!!) まず15で。
  10×16+22(x-16)+32×5=5×86。 次2で。
  10×8+11(x-16)+16×5=5×43。ここで計算。
  80+11x-176+80=215
  11x=231 → x=21(cm)。
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